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Circunferência - 50 Exercícios com gabarito

01. (Fuvest – SP) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Então a equação de s é:

a) x- 2y = - 6
b) x + 2y = 6
c) x + y = 3
d) y - x = 3
e) 2x + y = 6

02. (Fuvest – SP) Fixado o ponto N=(0,1), a cada ponto P do eixo das abscissas associamos o ponto obtido pela intersecção da reta PN com a circunferência x2+y2=1.
a) Que pontos do eixo das abscissas foram associados aos pontos (x,y) da circunferência, com y<0?
b) Quais as coordenadas do ponto P' da circunferência, associado a P=(c,0), ?

03. (Unicamp) a) Identifique as circunferências de equações x2+y2=x e x2+y2=y, calculando o raio e o centro das mesmas. Esboce seus gráficos.
b) Determine os pontos de intersecção dessas circunferências e mostre que as retas a elas tangentes em cada um desses pontos são perpendiculares entre si.

04. (Fuvest – SP) Uma circunferência de raio 2, localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equação 4x-3y=0. Então a abscissa do centro dessa circunferência é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

05. (Unesp) Considere o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscrito à circunferência de equação:
x2 + y2 - 6x - 4y + 12 = 0.
Determine as equações das retas que contêm as diagonais desse quadrado.

06. (Fuvest – SP) Sejam A=(0, 0), B=(0, 5) e C=(4, 3) pontos do plano cartesiano.
a) Determine o coeficiente angular da reta BC.
b) Determine a equação da mediatriz do segmento BC. O ponto A pertence a esta mediatriz?
c) Considere a circunferência que passa por A, B e C. Determine a equação da reta tangente a esta circunferência no ponto A.

07. (Unicamp) Em um sistema de coordenadas ortogonais no plano são dados o ponto (5, -6) e o círculo x2+y2=25. A partir do ponto (5,-6), traçam-se duas tangentes ao círculo. Faça uma figura representativa desta situação e calcule o comprimento da corda que une os pontos de tangência.

08. (Fuvest – SP) A reta (m>0) é tangente à circunferência (x-4)2+y2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x.
a) 1/5.
b) 1/2.
c) /2.
d) /2.
e) .

09. (Fuvest – SP) a) As extremidades de um diâmetro de uma circunferência são (-3,1) e (5,-5). Determine a equação da circunferência.
b) Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto (9,) e que é tangente às retas y=0 e y=x.

10. (Unesp) Seja AB o diâmetro da circunferência x2+y2-6x-8y+24=0 contido na reta perpendicular a y=x+7. Calcular as coordenadas de A e B.

11. (Fuvest – SP) a) Dar uma equação da bissetriz do ângulo agudo entre a reta de equação 4x-3y=4 e o eixo dos x;
b) Determinar a circunferência inscrita no triângulo de vértices (1,0), (4,0) e (4,4).

12. (Unesp) Considere uma circunferência de raio r<4, com centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Se uma das tangentes à circunferência pelo ponto (4,0) forma com o eixo x um ângulo de 30°, então o ponto de tangência correspondente é:
a) (1, )
b) (1, )
c) (1/2, )
d) (1/2, )
e) (1/2, /2)

13. (Fuvest – SP) A circunferência x2+y2= 4 é simétrica à circunferência x2+y2-12x-8y+48= 0 em relação a uma reta r. Uma equação dessa reta é:
a) 3x - 2y = 13
b) 3x - 2y = 5
c) 2x - 3y = 0
d) 3x + 2y = 13
e) 3x + 2y = 5

14. (Fuvest – SP) Considere o triângulo ABC, onde A = (0,4), B=(2,3) e C é um ponto qualquer da circunferência x2+y2=5. A abcissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é:
a) - 1
b) - 3/4
c) 1
d) 3/4
e) 2

15. (Fuvest – SP) Para cada número real n seja P0=(x0,y0) o ponto de intersecção das retas nx + y = 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os pontos P0 pertencem a uma mesma circunferência, qual é o centro dessa circunferência?
a) (1/2, 1/2)
b) (0,0)
c) (-1/2, 1/2)
d) (-1/2, -1/2)
e) (1,1)

16. (Fatec – SP) Seja C a circunferência de equação x2+y2-6x-4y+9=0. Um quadrado, cujos lados são paralelos aos eixos cartesianos, está inscrito em C. O perímetro desse quadrado é
a) 2
b) 4
c) 4
d) 8
e) 8

17. (Fatec – SP) O par (x, y) de números reais, que é solução do sistema
pertence à curva de equação
a)
b)
c)
d)
e)

18. (Fei – SP) O comprimento da corda que a reta determina na circunferência de centro em (2,1) e raio é:
a)
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

19. (Ita – SP) São dadas as retas (r) e (s) e a circunferência (C) . Sobre a posição relativa desses três elementos, podemos afirmar que:
a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à C.
b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é tangente à C.
c) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é tangente à C.
d) r e s são concorrentes, s é tangente á C e r não é tangente à C.
e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C.

20. (Uel) São dados:
uma circunferência de centro C = (3/2,1);
um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência.
A equação da circunferência dada é
a) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 3 = 0
b) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 4 = 0
c) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 2 = 0
d) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 4 = 0
e) x2 + y2 - 3/2x - y = 0

21. (Uel) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e C(4;1).
O segmento æè é um diâmetro da circunferência de equação
a) x2 + y2 + 6x + 4y + 11 = 0
b) x2 + y2 - 6x - 4y + 11 = 0
c) x2 + y2- 4x + 9y + 11 = 0
d) x2 + y2 - 6x - 4y + 9 = 0
e) x2 + y2 - 4x - 9y + 9 = 0

22. (UFMG) Sejam r e s as retas de equações y=2x-1 e y=2x+3, respectivamente.
a) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular a r.
b) Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto (0, 3) e tangencia as retas r e s.

23. (Unesp) Se M=(5/2,0) é o ponto médio do segmento cujos extremos são as interseções da circunferência x2+y2+mx-y-4=0
com o eixo x, determine o centro dessa circunferência.

24. (Puc – SP) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são os extremos de um diâmetro da circunferência . A equação correspondente a é
a) x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0
b) x2 + y2 - 2x + 4y = 0
c) 2x2 + 4y2 + 2x + 4y + 5 = 0
d) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
e) x2 + y2 + 6x + 3y - 4 = 0

25. (UECE) Sejam Q1(x1,y1) e Q2(x2,y2) os pontos de intersecção da reta de equação y+2=0 com a circunferência de centro no ponto P(-4,1) e raio r centímetros. Se x1<x2 e Q1Q2=8cm, então a equação dessa circunferência é:
a) x2 + y2 + 8x - 2y - 7 = 0
b) x2 + y2 + 8x - 2y - 8 = 0
c) x2 + y2 + 8x - 2y - 15 = 0
d) x2 + y2 + 8x - 2y - 19 = 0

26. (Mack – SP) A curva x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 tem um único ponto comum com a reta x + y = k, . A soma dos possíveis valores de k é:
a) 4.
b) -2
c) -4.
d) 2.
e) 0.

27. (Mack – SP)
I - Se 0 < x < /2, então os pontos , e sempre são vértices de um triângulo.
II - Se a e b são números reais tais que , então as retas x - ay + a2 = 0 e x + by + b2 = 0 nunca são paralelas.
III - A reta x + y - = 0 é tangente à curva x2 + y2 - 25 = 0.

Relativamente às afirmações acima, podemos afirmar que:
a) somente I e II são verdadeiras.
b) somente I e III são verdadeiras.
c) somente II e III são verdadeiras.
d) todas são falsas.
e) todas são verdadeiras.

28. (Udesc) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(5,5), B(-3,1) e C(2,-4).

29. (FGV – SP) Considere a reta (r), de equação y=2x+3, e a circunferência de equação x2+y2=10. A reta (s), perpendicular à reta (r), tangencia a circunferência no ponto P. Esse ponto pode ser
a)
b)
c)
d)
e)

30. (UFPE) Seja r uma reta que passa pelo centro da circunferência C1 de equação cartesiana , e que é perpendicular à reta y=x. Uma circunferência C2, concêntrica com a primeira, é tangente ao eixo das ordenadas Oy no ponto P. Determine a área do triângulo cujos vértices são o ponto P e os pontos de intersecção da reta r com C1.

31. (Fuvest – SP) O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x2+y2=10y. Se A é o ponto (3,1), então B é o ponto
a) (-3, 9)
b) (3, 9)
c) (0, 10)
d) (-3, 1)
e) (1, 3)

32. (U. E. Londrina) Seja P um ponto do eixo das ordenadas pertencente à reta de equação 2x- 3y- 6= 0. A equação da circunferência de centro em P e tangente ao eixo das abcissas é
a) x2 + y2 = 4
b) x2 + y2 + 4x = 0
c) x2 + y2 +4y = 0
d) x2 + y2 - 4x = 0
e) x2 + y2- 4y = 0

33. (Fatec – SP) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x2 + y2 - 2x - 4y -4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é:
a) y = 2x + 1
b) y = 2x -1
c) y = x/2
d) y = 2x
e) y = x

34. A distância de uma reta ao centro de uma circunferência de 7 cm de raio é dada por d = 5 - 9x. Sabendo que a reta é tangente à circunferência, determine x.

35. (Fei – SP) No plano cartesiano, a circunferência com centro no ponto C=(3,4) e raio r=5 intercepta os eixos do sistema em:
a) nenhum ponto
b) 1 ponto
c) 2 pontos
d) 3 pontos
e) 4 pontos

36. (Cesgranrio) As circunferências x2+y2+8x+6y=0 e x2+y2-16x-12y=0 são:
a) exteriores.
b) secantes.
c) tangentes internamente.
d) tangentes externamente.
e) concêntricas.

37. (Unicamp) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1, 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4y-3x-7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação x2+y2-6x-8y=0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o km. Pergunta-se:
a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias?
b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q?

38. (Fei – SP) Qual deve ser o raio da circunferência com centro no ponto O = (0,0) para que a reta seja tangente a essa circunferência?
a)
b)
c) 20
d)
e)

39. (Cesgranrio) Uma circunferência passa pela origem, tem raio 2 e o centro C na reta y = 2x . Se C tem coordenadas positivas, uma equação dessa circunferência é:
a) (x - )2 + (y - 2)2 = 4
b) (x - /2)2 + (y - )2 = 4
c) (x - /2)2 + (y - )2 = 4
d) (x - /5)2 + (y - 2/5)2 = 4
e) (x - 2/5)2 + (y - 4/5)2 = 4

40. (Mack – SP) A reta que passa pelo centro da circunferência x2+y2+6x+4y+12=0 e é paralela à bissetriz dos quadrantes pares tem equação:
a) x + y + 5 = 0
b) x + y - 5 =0
c) 5x + 5y + 1 = 0
d) x + y - 1 = 0
e) x + y + 1 = 0

41. (Mack – SP) Uma circunferência de centro passa pelos pontos , e , . Então a + b vale:
a) k
b) k/2
c) 3k/2
d) 2k
e) 3k

42. (Fuvest – SP) Considere as circunferências que passam pelos pontos (0, 0) e (2, 0) e que são tangentes à reta y = x + 2.
a) Determine as coordenadas dos centros dessas circunferências.
b) Determine os raios dessas circunferências.

43. (FGV – SP) Uma empresa produz apenas dois produtos A e B, cujas quantidades anuais (em toneladas) são respectivamente x e y. Sabe-se que x e y satisfazem a relação:
x2 + y2 + 2x + 2y - 23 = 0
a) esboçar o gráfico da relação, indicando o nome da curva.
b) Que quantidades devem ser produzidas se, por razões estratégicas, a quantidade produzida do produto B for o dobro da de A?

44. (Uece) Se a circunferência de centro no ponto P(-2, 3) e raio 2cm passa pelos pontos e , então é igual a:
a) 16
b) 19
c) 26
d) 35

45. (UFRS) O comprimento da corda que a reta r definida pela equação 2x - y = 0 determina no círculo de centro no ponto C(2,0) e raio r = 2 é
a) 0
b) 2
c) 5
d)
e)

46. (UFRS) A equação x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0 representa um círculo se e semente se:
a) m > 0
b) m < 0
c) m > 13
d) m > -13
e) m < 13

47. (Cesgranrio) A equação da circunferência de raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas
x - y + 1 = 2 e x + y - 1 = 2 é:
a) x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
b) x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0
c) x2 + y2 - 4x + 2y + 20 = 0
d) x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0
e) x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0

48. (Fuvest – SP) Um quadrado está inscrito numa circunferência de centro (1,2). Um dos vértices do quadrado é o ponto (-3,-1). Determine os outros três vértices do quadrado.

49. (Uel) Sejam os pontos A e B as intersecções da reta r, de equação x+y=0, com a circunferência , de equação x2+y2-4x=0. O comprimento da corda é
a)
b) 2
c) 4
d) 4
e) 8

50. (Uel) Sejam os pontos A e B as intersecções da reta r, de equação x+y=0, com a circunferência , de equação x2+y2-4x=0. A equação da reta paralela a r, conduzida pelo centro de , é
a) x - y = 0
b) x - y - 2 = 0
c) x - y + 2 = 0
d) x + y - 2 = 0

e) x + y + 2 = 0 

GABARITO:

01. B
02. a)
b)
03. a) Observe a figura:
b) Um ponto de intersecção é (0,0) e as retas tangentes às respectivas circunferências por este ponto são x = 0 e y = 0, que são perpendiculares.
O outro ponto de intersecção é (1/2, 1/2) e as retas tangentes às respectivas circunferências por este ponto são y = 1/2 e x = 1/2 que são perpendiculares.

04. D 05. y = x - 1 e y = -x + 5
06. a) m = -1/2
b) y = 2x e o ponto A pertence à mediatriz
c) y = -x/2
07. 08. B
09. a)
b)
10.
11. a) x - 2y - 1 = 0 b) (x - 3) 2 + (y - 1)2 = 1
12. A 13. D 14. C
15. A 16. E 17. C
18. E 19. E 20. A
21. B
22. a) x + 2y = 6
b)
23. 24. B 25. B
26. A 27. E
28. x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 29. A
30. 3 31. A 32. C
33. D 34. 35. D 36. D
37. a) (7,7) b)
38. B 39. E 40. A 41. A
42. a) (1,1) e (1,–7) b) e
43. a) Gráfico:
b) x = 1,63 toneladas e y = 3,26 toneladas, aproximadamente.
44. B 45. E 46. E 47. A
48. Os vértices pedidos são: (5, 5), (4, -2) e (-2, 6).
49. B 50. D