Em
matemática, uma função composta é criada aplicando uma função à
saída, ou resultado, de uma outra função, sucessivamente. Como uma
função deve possuir um domínio e contradomínio bem definidos e
estamos falando de aplicar funções mais de um vez, devemos ser
precisos com relação a como estamos aplicando estas funções.
Definição
Sejam
f: A → B e g: B → C duas funções. Chama-se função composta
de g em f a função h: A → C, em que a imagem de cada x ϵ A é
obtida pelo seguinte procedimento:
-
aplica-se a x x função f, obtendo-se f(x);
-
aplica-se a f(x) a função g, obtendo-se g(f(x)).
Indica-se
h(x) = g(f(x)) para todo x ϵ A.
A
função composta pode ser indicada por gof; portanto:
(gof)(x)
= g(f(x)), para todo x ϵ A.
EXEMPLOS
01.) Sejam f e g duas funções de R em R definidas por f(x) = 3x e g(x) = -2x + 1, calcule a função h(x) = g(f(x)).
Resolução:
g(f(x))
= g(3x)
g(3x)
= - 2(3x) + 1
g(3x)
= - 6x + 1
LOGO,
h(x)
= g(f(x)) = - 6x + 1
02)
Sejam f e g duas funções de R em R definidas por f(x) = 4x + 3 e
g(x) = x - 1, calcule:
a)
f(g(x))
b)
g(f(x))
c)
f(g(3))
d)
g(f(3))
Resolução
a)
f(g(x)) = f(x – 1)
f(x-1)
= 4(x-1) + 3 = 4x – 4 + 3
f(x-1)
= 4x - 1
f(g(x))
= 4x - 1
b)
g(f(x)) = g(4x + 3)
g(4x
+ 3) = 4x + 3 – 1
g(4x
+ 3) = 4x + 2
g(f(x))
= 4x + 2
c)
f(g(3)), dado g(x) = x - 1
g(3)
= 3 – 1 = 2
f(2)
= 4(2) + 3 = 11
f(g(3))
= 11
d)
g(f(3)), dado f(x) = 4x + 3
f(3)
= 4 . 3 + 3 = 15
g(15)
= 15 – 1 = 14
g(f(3))
= 14
03.
Sejam f e g duas funções de R em R definidas por f(x) = 3x + k e
g(x) = -2x + 5, sendo k uma constante real. Determine o valor de k de
modo que (fog)(x) = (gof)(x) para todo x x ϵ R.
Resolução:
(fog)(x)
= (gof)(x) ↔ f(g(x)) = g(f(x))
(1)
f(g(x)) = ?
f(-2x
+ 5) = 3(-2x + 5) + k
f(g(x))
= -6x + 15 + k
(2)
g(f(x)) = ?
g(3x
+ k) = -2(3x + k) + 5
g(f(x))
= -6x – 2k + 5
agora,
calculando: (fog)(x) = (gof)(x) ↔ f(g(x)) = g(f(x)) temos,
f(g(x))
= g(f(x))
-6x
+ 15 + k = -6x – 2k + 5
3k
= - 10
k
= -10/3
04.
Sejam f e g duas funções de R em R definidas por f(x) = 4x - 4 e
g(x) = -2x² + x – 1. Calcule f(g(x)) = - 8
Resolução:
f(g(x))
= ?
f(-2x²
+ x – 1) = 4(-2x² + x – 1) – 4
f(g(x))
= -8x² + 4x - 4 - 4
f(g(x))
= -8x² + 4x - 8
Calculando
f(g(x)) = - 8 temos,
-8x²
+ 4x - 8 = - 8
-8x²
+ 4x - 8 + 8= 0
-8x²
+ 4x = 0 (-1)
8x²
– 4x = 0
calculando
a equação do 2º grau
x(8x
– 4) = 0
x
= 0
8x
– 4 = 0
8x
= 4
x
= ½
S
= {0, ½}
05)
(PUC-SP) Se
f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, calcule
g(1).
Resolução:
f(x)
= 3x - 4
f(g(x))
= 3g(x) - 4
x
+ 4 = 3g(x) - 4
x
+ 4 + 4 = 3g(x)
x
+ 8 = 3g(x)
g(x)
= (x
+ 8)/3
Calculando
g(1):
g(1)
= (1
+ 8)/3
g(1)
= 3