Se
três pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) estão
alinhados, então:
Calculando-se
o determinante da matriz temos:
[XA.YB
+ YA.XC + XB.YC] – [YB.XC + XA.YC + YA.XB] = 0
Observação:
Se
três pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) formam um
triângulo qualquer, então:
Calculando-se
o determinante da matriz temos:
[XA.YB
+ YA.XC + XB.YC] – [YB.XC + XA.YC + YA.XB] ≠
0
Exemplos:
1.
Dados
os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão
alinhados.
Resolução
Calculando-se
o determinante da matriz temos:
[XA.YB
+ YA.XC + XB.YC] – [YB.XC + XA.YC + YA.XB] = 0
[2.7
+ 5.5 + 3.11] – [7.5 + 2.11 + 5.3] = 0
14
+ 25 + 33 – [35 + 22 + 15] = 0
72
– 72 = 0
0
= 0
Resposta:
estão
alinhados
2.
Para
quais valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e (2 – k, 2) são
colineares?
Resolução
Condição:
[XA.YB
+ YA.XC + XB.YC] – [YB.XC + XA.YC + YA.XB] = 0
[24
+ k(2 – k) + 6] - [4(2-k) + 12 + 3k] = 0
30
+ 2k – k² - [8 – 4k + 12 + 3k] = 0
30
+ 2k – k² – 20 + k = 0
– k²
+ 3k + 10 = 0 (-1)
k²
– 3k – 10 = 0
Resolvendo
a equação do 2º grau temos:
k'
= - 2 e k'' = 5
3.
Determine o valor de a para que os pontos A(2, 1), B(a+1, 2) e C(-3,
-1) sejam os vértices de um triângulo.
Resolução
Condição:
[XA.YB
+ YA.XC + XB.YC] – [YB.XC + XA.YC + YA.XB] ≠
0
[4
– 3 - 1(a + 1)] - [- 6 – 2 + 1(a + 1)] ≠
0
1
– a – 1 - [- 8 + a + 1] ≠
0
-
a + 7 – a ≠ 0
-
2a + 7 ≠ 0
-2a
≠ -7
a
≠ 7/2
4.
Determine m para que os pontos A(0, -3), B(-2m, 11) e C(-1, 10)
estejam em linha reta.
Resolução
Condição:
[XA.YB
+ YA.XC + XB.YC] – [YB.XC + XA.YC + YA.XB] = 0
0
+ 3 -20m - [-11 + 0 + 6m] = 0
3
– 20m + 11 – 6m = 0
-
26m = - 14 (-1)
26m
= 14
m
= 14/26
m
= 7/13