DEFINIÇÃO
Dados
dois conjuntos não vazios A e B, uma relação (ou correspondência)
que associa a cada elemento x
ϵ A recebe
o nome de função de A em B.
Também
pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um
elemento y, também denotado por ƒ(x). Existem inúmeros tipos de
funções matemáticas, entre as principais temos: função
sobrejetora, função injetora, função bijetora, função
trigonométrica, função linear, função modular, função
quadrática, função exponencial, função logarítmica, função
polinomial, dentre inúmeras outras. Cada função é definida por
leis generalizadas e propriedades específicas.
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Dadas
as relações abaixo:
Esta
não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois
elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de
não ser uma função, representa uma função multivalorada.
Esta
não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com um
elemento em Y.
A
relação representa uma função f
de X
em
Y Podemos
perceber visualmente se uma equação representa ou não uma função,
para isso utilizamos o teste da linha vertical.
Conforme
definição, uma relação para ser função é necessário que para
cada elemento do domínio só exista um e somente um elemento na
imagem então, se ao traçar uma linha vertical no gráfico de uma
equação e observarmos que esta linha corta o gráfico em dois
pontos podemos descartar imediatamente a equação como sendo
representante de um função.
Nos
gráficos acima vemos que nem x² + y² = 1 nem x = y² - 2
representam funções.
01)
Seja
a função f: R →
R
definida por f(x) = (-3x + 8)/5. Calcule:
a)
f(3)
b)
f(-2)
c)
o elemento cuja imagem é 2.
Resolução
a)
f(3) →
x
= 3, substituindo x em f(x) = (-3x
+ 8)/5 temos,
f(3)
= (-3.3
+ 8)/5
f(3)
= (- 9 + 8)/5
f(3)
= -1/5
b)
f(-2) →
x
= - 2, substituindo x em f(x) = (-3x
+ 8)/5 temos,
f(-2)
= (-3.2
+ 8)/5
f(-2)
= (- 6
+ 8)/5
f(3)
= 2/5
c)
o elemento cuja imagem é 2 →
f(x)
= 2,
logo
f(x)
= (-3x + 8)/5
2
=
(-3x + 8)/5
-
3x + 8 = 10
-
3x = 10 – 8
-
3x = 2
x
= -2/3
02)
Seja
f: R
→
R
definida
por f(x) = 4x + m, em que m é uma constante real. Calcular m,
sabendo que f(-2) = 5
Resolução
sendo
f(x)
= 4x + m →
x
= - 2 e f(x) = 5, logo:
f(-2)
= 4.(-2) + m
5
= - 8 + m
m
= 13
03)
Seja
P(x) = 2x² + x - 1. Calcule
P(2/3)
Resolução
P(2/3)
→
x
= 2/3
P(2/3)
= 2.(2/3)²
+ 2/3
- 1
P(2/3)
=
2.(4/9) + 2/3 – 1
P(2/3)
=
8/9 + 2/3 – 1, (mmc
de 9 e 3 é 9)
P(2/3)
=
(8 + 6 – 9)/9
P(2/3)
=
5/9
04)
Se
f(2x + 1) = x² + 2x, calcule
f(2).
Resolução
para
calcular f(2), temos a seguinte condição:
2x
+ 1 =
2
2x
= 2 – 1
2x
=
1
x
= ½
f(2)
→
x
= ½,
substituindo
x em f(x) = x²
+ 2x
temos:
f(1/2)
= (1/2)²
+ 2(1/2)
f(1/2)
=
¼ + 1, (mmc
4)
f(1/2)
=
(1 + 4)/4
f(1/2)
=
5/4
05)
Se
f é uma função de IR em IR tal que f(x) = 3x3 +
x2,
calcule
f(0) + f(1) + f(–1).
Resolução
f(0)
= 3.(0)³ + (0)² = 0
f(1)
= 3.(1)³ + (1)² = 4
f(-1)
= 3.(-1)³ + (-1)² = 3.(-1) + 1 = -2
f(0)
+ f(1) + f(–1) →
0
+ 4 + (-2) = 2
f(0)
+ f(1) + f(–1) = 2
06)
Uma
função de variável real satisfaz a condição f(x+2) = 2f(x) +
f(1), qualquer que seja a variável x. Sabendo que f(3) = 6, calcule
f(1).
Resolução
f(x+2)
= 2f(x) + f(1)
Se
f(3)
= 6, vale
a seguinte condição:
x+2
=
3
x
= 3 – 2
x
= 1
f(1+2)
= 2f(1)
+ f(1)
6
=
2f(1) +
f(1)
3f(1)
=
6
f(1)
=
6/3
f(1)
=
2
07)
Uma
função de variável real satisfaz a condição f(x + 2) = 2f(x) +
f(1), qualquer que seja a variável x. Sabendo que f(3) = 6, calcule
o
valor de f(1) + f(5).
Resolução
f(x+2)
= 2f(x) + f(1)
Se
f(3)
= 6, vale
a seguinte condição:
x+2
=
3
x
= 3 – 2
x
= 1
f(1+2)
= 2f(1)
+ f(1)
6
=
2f(1) +
f(1)
3f(1)
=
6
f(1)
=
6/3
f(1)
=
2
Calculando
f(5)
Condição:
x+2
=
5
x
= 5 – 2
x
= 3
f(x+2)
= 2f(x) + f(1)
f(3
+ 2) = 2f(3) + f(1)
f(5)
= 2. 6 + 2
f(5)
= 14