Definição
Chama-se
função do 1º grau ou função afim, qualquer função f de R em R
dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números
reais dados e a ≠ 0.
Na
lei f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o
número b é chamado termo constante ou independente.
Exemplo:
Se
f(x) = 5x – 2, temos que a = 5 e b = - 2
Função linear
Uma
função do tipo f(x) = ax, com b = 0 e a real e a ≠ 0, é
denominada função linear.
Função constante
Chama-se
função constante uma função f: R → R dada pela lei y = 0x + b,
ou seja, y = b para todo x.
Gráfico de uma função linear
O
gráfico de uma função polinomial do 1º grau, dada por y = ax + b,
com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos 0x e 0y.
Raiz de uma função do 1º grau
Chama-se
raiz ou zero da função polinomial do 1º grau, dada por f(x) = ax +
b, a ≠ 0, o número real x tal que f(x) = 0.
Crescimento e decrescimento de uma função do 1º grau
Dada
uma função afim f, dada por f(x) = ax + b, temos:
-
para a > 0, f(x) é crescente
-
para a < 0, f(x) é decrescente
Sinal de uma função do 1º grau
Dada
uma função afim f, dada por f(x) = ax + b, temos:
- para a > 0, f(x) é crescente
- para a < 0, f(x) é decrescente
EXEMPLOS:
1)
Determine a raiz de cada uma das funções de R em R dadas pelas
seguintes leis:
a)
y = 3x – 9
Resolução
y
= 0
0
= 3x – 9
3x
= 9
x
= 9/3
x
= 3
b)
f(x) = - 2x + 12
Resolução
f(x)
= 0
0
= - 2x + = 6
2)
Para que valores reais de m a função de R em R definida por f(x) =
(m + 3)x + 1 é decrescente?
Resolução
f(x)
é decrescente para a <
0, logo:
m
+ 3 <
0
m
<
- 3
3)
Para
que valores reais de m a função de R em R definida por f(x) = (3 -
2m)x + 1 é crescente?
Resolução
f(x)
é crescente para a >
0, logo:
3
– 2m > 0
-
2m >
- 3 (-1)
2m
<
3
m
<
3/2
4)
Resolver
a inequação 4(x + 1) – 5 ≤
2(x
+ 3), em R.
Resolução
4(x
+ 1) – 5 ≤
2(x
+ 3)
4x
+ 4 – 5 ≤
2x
+ 6
4x
– 2x ≤
6
– 4 + 5
2x
≤
7
x
≤
7/2
S
= {x
ϵ
R/
x
≤
7/2}
5)
(FGV)
O gráfico da função f (x) = mx + n passa pelos pontos (– 1, 3) e
(2, 7). Determine o valor de m.
Resolução
O
primeiro ponto que é dado é o (–
1, 3),
em que o valor de x é –
1 e
o valor de f(x) é 3.
Substituindo esses valores na função, temos:
f
(x) = mx + n
3
= m.(– 1) + n
n
= 3 + m
Vamos
também substituir o segundo ponto (2,
7) na
função, sendo que x vale 2 e f(x) vale 7:
f
(x) = mx + n
7
= m.2 + n
n
= 7 – 2m
Nas
duas substituições feitas, encontramos dois valores para n. Se
igualarmos essas duas equações, teremos:
3
+ m = 7 – 2m
m
+ 2m = 7 – 3
3m
= 4
m
= 4/3
6)
Um
motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$
0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Determine o valor a
ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros.
Resolução
A
função que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x
quilômetros é dada por: f(x) = 0,70x + 3,50.
Valor
a ser pago por uma corrida de percurso igual a 18 quilômetros.
f(x)
= 0,70x + 3,50
f(18)
= 0,70.18 + 3,50
f(18)
= 12,60 + 3,50
f(18)
= 16,10
O
preço a ser pago por uma corrida com percurso igual a 18 quilômetros
corresponde a R$ 16,10.
7)
O preço de
venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de
cada livro corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais R$ 6,00 por
unidade, construa uma função capaz de determinar o lucro líquido
(valor descontado das despesas) na venda de x livros, e o lucro
obtido na venda de 500 livros.
Resolução
Venda
= função receita
R(x)
= 25x
Fabricação:
função custo
C(x)
= 6 x + 4
Lucro
= receita - custo
L(x)
= 25x – (6x + 4)
L(x)
= 25x – 6x – 4
L(x)
= 19x – 4
Lucro
líquido será determinado pela função:
L(x)
= 19x – 4.
Lucro
na venda de 500 livros
L(500)
= 19 . 500 – 4
L(500)
= 9 496
Resposta:
O lucro obtido
na venda de 500 livros é de R$ 9 496,00.
8)
O salário
de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00,
mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês.
Caso ele consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de seu
salário.
Resolução
f(x)
= 12% de x (valor das vendas mensais) + 800 (valor fixo)
f(x)
= 12/100x + 800
f(x)
= 0,12x + 800
f(450
000) = 0,12.450 000 + 800
f(450
000) = 54 000 + 800
f(450
000) = 54 800
Resposta:
O salário do
vendedor será de R$ 54 800,00.
9)
Dada a
função f(x)= ax+2, determinar o valor de a para que se tenha f(4) =
22
Resolução
f(x)
= ax+2
f(4)
= a(4) + 2 = 22
4a
+ 2 = 22
4a
= 22 - 2
4a
= 20
a
= 5
10)
Determinar
a lei da função do 1º grau que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo
coeficiente angular é - 4.
Resolução
Obs.:
numa
função do tipo f(x) = ax + b, o valor de a é o coeficiente angular
e o valor de b é o coeficiente linear.
Sabe-se
que a
função é
do 1º grau
e
passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular é - 4.
Assim
temos:
f(x)
= y = 1
x
= - 2
a
= - 4
Logo,
f(x)
= ax + b
1
= -4(-2) + b
1
= 8 + b
b
= - 7
f(x)
= -4x
- 7
11)
(UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está
representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta.
Quem
comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por
unidade, em reais, o equivalente a:
A)
4,50
B)
5,00
C)
5,50
D)
6,00
Resolução
Pelo
gráfico, temos que o gráfico representa uma função do tipo f(x) =
ax + b (afim).
Temos
ainda:
P(5,
150)
Q(30,
50)
Logo,
f(x)
= ax + b
150
= 5x + b (I)
f(x)
= ax + b
50
= 30x + b (II)
Fazendo
(II) - (I):
25a
= - 100
a
= - 4
Substituindo
em (I):
150
= 5x + b
150
= 5.(-4) + b
150
+ 20 = b
b
= 170
f(x)
= -4x + 170
f(20)
= -4.20 + 170
f(20)
= 90
90/20
= 4,5
Resposta:
A