De
uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função
f, denotada por f-1, é a função que desfaz a operação
executada pela função f. Vamos entender melhor essa idéia, através
da ilustração abaixo.
Definição
Seja
f:
A →
B
uma
função injetora com domínio A e imagem B. A função inversa f-1
é a função f-1:
B
→
A,
com domínio B e imagem A tal que:
f-1(f(a))
= a para a ϵ A e f(f-1 (b)) = b
para b ϵ B
Assim,
podemos definir a função inversa f-1 por
x
= f-1(y) ↔ y = f(x) para todo y em B.
Se
quiser expressar a inversa f-1 como uma função
de x, troque x por y e escreva y = f-1(x).
Para
se obter o gráfico de f-1 basta refletir o gráfico de f
em torno da reta bissetriz y = x.
EXEMPLOS:
01)
Seja f de R em R, definida por f(x) = - 2x + 1. Calcule a lei que
define f-1.
Resolução
Sabendo-se
que f(x) = y temos,
-
Condição para calcular
f-1,
troca
y por x e x por y
f(x)
= - 2x + 1
x
= - 2y + 1
2y
= 1 – x
y
= (1 – x)/2
f-1
(x) =
(1 – x)/2
02)
Se f-1
é a função inversa de f e f(x) = 2x + 3, calcule
o valor de f-1(2).
Resolução
Sabendose
que f(x) = y temos,
-
Condição para calcular
f-1,
troca
y por x e x por
y
f(x)
= 2x + 3
x
= 2y + 3
2y
= x - 3
y
= (x - 3)/2
f-1(x)
= (x –
3)/2
Calculando
f-1(2)
f-1(x)
= (x – 3)/2
f-1(2)
= (2
– 3)/2
f-1(2)
= - ½
03)
Seja f: R → R, uma função dada pela lei f(x) = 2x + a, sendo a
uma constante real. Calcule f(3) sabendo-se que
f
- 1(9) = 7.
Resolução
-
Condição para calcular
f-1,
troca
y por x e x por y
Calculando
a inversa f-1(x)
de f(x)
f(x)
= 2x + a
x
= 2y + a
2y
= x – a
y
= (x – a)/2
f-1(x)
= (x – a)/2
Se
f-
1(9)
= 7, temos:
f-1(x)
= (x – a)/2
7
= (9 – a)/2
9
– a = 14
a
= - 5