Função Composta - Exercícios Resolvidos

Em matemática, uma função composta é criada aplicando uma função à saída, ou resultado, de uma outra função, sucessivamente. Como uma função deve possuir um domínio e contradomínio bem definidos e estamos falando de aplicar funções mais de um vez, devemos ser precisos com relação a como estamos aplicando estas funções.






Definição
Sejam f: A → B e g: B → C duas funções. Chama-se função composta de g em f a função h: A → C, em que a imagem de cada x ϵ A é obtida pelo seguinte procedimento:
- aplica-se a x x função f, obtendo-se f(x);
- aplica-se a f(x) a função g, obtendo-se g(f(x)).
Indica-se h(x) = g(f(x)) para todo x ϵ A.
A função composta pode ser indicada por gof; portanto:

(gof)(x) = g(f(x)), para todo x ϵ A.

EXEMPLOS

01.) Sejam f e g duas funções de R em R definidas por f(x) = 3x e g(x) = -2x + 1, calcule a função h(x) = g(f(x)).

Resolução:
g(f(x)) = g(3x)
g(3x) = - 2(3x) + 1
g(3x) = - 6x + 1
LOGO,
h(x) = g(f(x)) = - 6x + 1

02) Sejam f e g duas funções de R em R definidas por f(x) = 4x + 3 e g(x) = x - 1, calcule:
a) f(g(x))
b) g(f(x))
c) f(g(3))
d) g(f(3))

Resolução
a) f(g(x)) = f(x – 1)
f(x-1) = 4(x-1) + 3 = 4x – 4 + 3
f(x-1) = 4x - 1
f(g(x)) = 4x - 1
b) g(f(x)) = g(4x + 3)
g(4x + 3) = 4x + 3 – 1
g(4x + 3) = 4x + 2
g(f(x)) = 4x + 2

c) f(g(3)), dado g(x) = x - 1
g(3) = 3 – 1 = 2
f(2) = 4(2) + 3 = 11
f(g(3)) = 11
d) g(f(3)), dado f(x) = 4x + 3
f(3) = 4 . 3 + 3 = 15
g(15) = 15 – 1 = 14
g(f(3)) = 14

03. Sejam f e g duas funções de R em R definidas por f(x) = 3x + k e g(x) = -2x + 5, sendo k uma constante real. Determine o valor de k de modo que (fog)(x) = (gof)(x) para todo x x ϵ R.

Resolução:
(fog)(x) = (gof)(x) ↔ f(g(x)) = g(f(x))
(1) f(g(x)) = ?
f(-2x + 5) = 3(-2x + 5) + k
f(g(x)) = -6x + 15 + k
(2) g(f(x)) = ?
g(3x + k) = -2(3x + k) + 5
g(f(x)) = -6x – 2k + 5
agora, calculando: (fog)(x) = (gof)(x) ↔ f(g(x)) = g(f(x)) temos,
f(g(x)) = g(f(x))
-6x + 15 + k = -6x – 2k + 5
3k = - 10
k = -10/3

04. Sejam f e g duas funções de R em R definidas por f(x) = 4x - 4 e g(x) = -2x² + x – 1. Calcule f(g(x)) = - 8

Resolução:
f(g(x)) = ?
f(-2x² + x – 1) = 4(-2x² + x – 1) – 4
f(g(x)) = -8x² + 4x - 4 - 4
f(g(x)) = -8x² + 4x - 8
Calculando f(g(x)) = - 8 temos,
-8x² + 4x - 8 = - 8
-8x² + 4x - 8 + 8= 0
-8x² + 4x = 0 (-1)
8x² – 4x = 0
calculando a equação do 2º grau
x(8x – 4) = 0
x = 0
8x – 4 = 0
8x = 4
x = ½
S = {0, ½}

05) (PUC-SP) Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, calcule g(1).

Resolução:
f(x) = 3x - 4
f(g(x)) = 3g(x) - 4
x + 4 = 3g(x) - 4
x + 4 + 4 = 3g(x)
x + 8 = 3g(x)
g(x) = (x + 8)/3 
Calculando g(1):
g(1) = (1 + 8)/3

g(1) = 3